Question

9．已知α∥β∥γ，直线AC与DF被平面α，β，γ所截，若AC与α成60°角，AB=4，BC=12，DF=10．求DE，EF的长及平面β，γ之间的距离．

Answer 1

分析 由面面平行的性质定理可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，即可求出DE，EF；设A在平面β上的射影为M，在平面γ上的射影为N，则MN的长为β和γ间的距离．

解答 解：由面面平行的性质定理可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
∴$\frac{AB}{AB+BC}=\frac{DE}{DE+EF}$，
∵AB=4，BC=12，DF=10，
∴$\frac{4}{4+12}$=$\frac{DE}{10}$，
∴DE=2.5，
∴EF=7.5．
设A在平面β上的射影为M，
∴AM⊥β．
又∵β∥γ，
∴AM⊥γ．
设垂足为N，则MN的长为β和γ间的距离．
∵AC与α所成角为60°，α∥γ，
∴AC与γ所成的角也为60°，
∴∠BCN=60°．
∴MN=BCsin∠BCN=12•sin60°=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面成角的定义及平行平面距离，相似三角形，是基础题．