Question

10．已知函数f（x）=2（x+1），g（x）=x+lnx，A，B两点分别为f（x），g（x）图象上两点，且始终满足A，B两点纵坐标相等，则A，B两点的最短距离为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设A（m，2（m+1）），B（n，n+lnn），由题意可得2（m+1）=n+lnn，即m=$\frac{n+lnn}{2}$-1，求得A，B的距离，由f（n）=lnn-n，求得导数，求得单调区间，可得最大值，即可得到所求距离的最小值．

解答 解：设A（m，2（m+1）），B（n，n+lnn），
由题意可得2（m+1）=n+lnn，
即m=$\frac{n+lnn}{2}$-1，
则|AB|=|m-n|=|$\frac{lnn-n}{2}$-1|，
由f（n）=lnn-n的导数为f′（n）=$\frac{1}{n}$-1，
当n＞1时，f′（n）＜0，当0＜n＜1时，f′（n）＞0，
即有n=1处取得最大值，且为-1，
即有lnn-n≤-1，
则$\frac{lnn-n}{2}$-1≤-$\frac{3}{2}$，
即有|AB|≥$\frac{3}{2}$．
则A，B两点的最短距离为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查两点的距离公式，以及运算求解能力，属于中档题．