Question

15．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=4^x-a•2^x
（1）a=2时．求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）在x∈[0，1]的最小值g（a）；
（3）若函数f（x）在x∈（-∞，0]上是以1为上界的有界函数．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，令t=2^x（t＞0），则f（x）=g（t）=t²-2t，配方，即可得到所求值域；
（2）令t=2^x，由0≤x≤1，可得1≤t≤2，函数y=t²-at=（t-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$，对称轴为t=$\frac{a}{2}$，讨论对称轴和区[1，2]的关系，结合单调性，即可得到所求最小值；
（3）由题意知，|f（x）|≤1在（-∞，0]上恒成立，即2^x-2^-x≤a≤2^-x+2^x在（-∞，0]上恒成立．由指数函数的单调性和恒成立思想，求得最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=4^x-2•2^x，
令t=2^x（t＞0），
则f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1．
由t＞0可得t=1时，取得最小值-1，无最大值，
即f（x）的值域为[-1，+∞）； 
（2）令t=2^x，由0≤x≤1，可得1≤t≤2，
函数y=t²-at=（t-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$，对称轴为t=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$≤1即a≤2时，[1，2]为增区间，
即有最小值为g（a）=1-a；
当1＜$\frac{a}{2}$＜2时，即2＜a＜4时，最小值为g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当$\frac{a}{2}$≥2即a≥4时，[1，2]为减区间，
即有最小值为g（a）=4-2a．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，a≤2}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}，2＜a＜4}\\{4-2a，a≥4}\end{array}\right.$；
（3）由题意知，|f（x）|≤1在（-∞，0]上恒成立．
∴-1≤f（x）≤1，即为-（2^x+2^-x）≤-a≤2^-x-2^x，
即2^x-2^-x≤a≤2^-x+2^x在（-∞，0]上恒成立．
由x≤0，可得2^x∈（0，1]，
即有2^-x+2^x∈[2，+∞），2^x-2^-x∈（-∞，0]，
即有0≤a≤2，
故实数a的取值范围是[0，2]．

点评 本题主要考查可化为二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．