Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB=

2

，BC=1，E，F分别为AB，PC中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

分析：（1）方法一：取线段PD的中点M，连接FM，AM．证明EA∥CD，EF∥AM．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD．
方法二：连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN．证明EF∥NP，然后利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD．     
方法三：取CD的中点Q，连接FQ，EQ．通过证明平面EQF∥平面PAD，证明EF∥平面PAD． 
（2）设AC，DE相交于G．证明∠DGC=90°．推出DE⊥AC．利用平面PAC⊥平面ABCD，证明DE⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面PDE．

解答：证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连接FM，AM．
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM=

1

2

CD．
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且EA=

1

2

CD．
所以FM∥EA，且FM=EA．
所以四边形AEFM为平行四边形．
所以EF∥AM．            …（5分）
又AM?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．  …（2分）
方法二：连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN．
因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，
所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE．
又AE=EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE=NE．
又F为PC的中点，所以EF∥NP．…（5分）
又NP?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．              …（2分）
方法三：取CD的中点Q，连接FQ，EQ．
在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE=DQ，且AE∥DQ．
所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．
又AD?平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．         …（2分）
因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．
又PD?平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．
又FQ，EQ?平面EQF，FQ∩EQ=Q，所以平面EQF∥平面PAD．…（3分）
因为EF?平面EQF，所以EF∥平面PAD．      …（2分）
（2）设AC，DE相交于G．
在矩形ABCD中，因为AB=

2

BC，E为AB的中点．所以

DA

AE

=

CD

DA

=

2

．
又∠DAE=∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE=∠DCA．
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，所以∠DCA+∠CDE=90°．
由△DGC的内角和为180°，得∠DGC=90°．即DE⊥AC．  …（2分）
因为平面PAC⊥平面ABCD
因为DE?平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，…（3分）
又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． …（2分）
说明：第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣（2分）；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣（3分）；
第二问，不用平几证明DE⊥AC，扣（2分）；

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，证明直线与平面平行的基本方法，平行与平面垂直的证明，考查空间想象能力，逻辑推理能力．