【题目】已知函数
(1)若函数在的切线与直线垂直,求的值;
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)1;(2)当a≤0时,f (x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
【解析】
(1)由导数的几何意义表示该点处切线的斜率,由其与已知直线垂直即斜率乘积为-1构建方程解得答案;
(2)由解析式可知定义域为(0,+∞),由(1)可知,当a≤0时,显然f'(x)>0,即可表示单调性;当a>0时,令f'(x)=0解得两根(舍)或,由二次函数的图象与性质可得f'(x)<0与 f'(x)>0的解集,即可表示单调性.
(1)因为函数,即
所以f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=2-a.
又因为f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y=2-x垂直,且直线y=2-x的额斜率为-1,
所以,故a=1.
(2)f (x)的定义域为(0,+∞),且由(1)可知
因为有,当a≤0时,显然f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)=0得,其判别式△=1+4a>0
该方程有两个不等实根为(舍)或
令f'(x)<0解得0<x<;令f'(x)>0解得x>,
所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增
综上所述,当a≤0时,f (x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
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【题目】设复数β=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0(m∈R)的一个虚根,且|β|=2,求实数m的值;
(2)设复数β满足条件|β+3|+(﹣1)n|β﹣3|=3a+(﹣1)na(其中n∈N*、常数),当n为奇数时,动点P(x、y)的轨迹为C1.当n为偶数时,动点P(x、y)的轨迹为C2.且两条曲线都经过点,求轨迹C1与C2的方程;
(3)在(2)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x0,0)(x0>0)的最小距离不小于,求实数x0的取值范围.
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【题目】从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看,本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面:本科就业压力大,提升竞争力;通过考研选择真正感兴趣的专业;为了获得学历;继续深造;随大流;有名校情结.如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图(单位:万人)的拆线图.
(1)求关于的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,预测2021年全国硕士研究生报考人数.
参考数据:;
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
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【题目】已知直线x=﹣2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l1上,且满足(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知定点M(,0),N(,0),点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求△MBD的内切圆半径r的取值范围.
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【题目】随着“北京八分钟”在韩国平昌冬奥会惊艳亮相,冬奥会正式进入了北京周期,全社会对冬奥会的热情空前高涨.
(1)为迎接冬奥会,某社区积极推动冬奥会项目在社区青少年中的普及,并统计了近五年来本社区冬奥项目青少年爱好者的人数(单位:人)与时间(单位:年),列表如下:
依据表格给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).
(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式,参考数据.
(2)某冰雪运动用品专营店为吸引广大冰雪爱好者,特推出两种促销方案.
方案一:每满600元可减100元;
方案二:金额超过600元可抽奖三次,每次中奖的概率同为 ,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折. v
两位顾客都购买了1050元的产品,并且都选择第二种优惠方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;
②如果你打算购买1000元的冰雪运动用品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
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【题目】华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.
(1)请根据两队身高数据作出茎叶图,并分析指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数;
(2)现从两队所有身高超过的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?
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