Question

9．已知B（-1，0），C（2，0）是△ABC的顶点，∠ACB=2∠ABC，求顶点A的轨迹方程．

Answer 1

分析 设A点的坐标为（x，y），∠ABC=α，∠ACB=2α，求出AB，AC的斜率，结合∠ACB=2∠ABC，得到斜率的关系，代入两直线的斜率整理得答案．

解答 解：设A点的坐标为（x，y），∠ABC=α，∠ACB=2α，
当$α=\frac{π}{4}$时，2α=$\frac{π}{2}$，此时A（2，±3）；
当$α≠\frac{π}{4}$时，
则：${k}_{AB}=tanα=\frac{y}{x+1}$（x≠2）①，
${k}_{AC}=tan（180°-2α）=\frac{y}{x-2}$（x≠2），
即-tan2α=$-\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{y}{x-2}$  ②，
把①代人②，得$-\frac{2\frac{y}{x+1}}{1-（\frac{y}{x+1}）^{2}}=\frac{y}{x-2}$，整理得3x²-y²=3，即${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠2），
验证A（2，±3）适合上式．
又△ABC中，∠ABC＜∠ACB，∴AB＞AC，
∴顶点A的轨迹是双曲线的右半支，且不包含与x轴交点（1，0）．
故顶点A的轨迹方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（x＞1）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，解答此题的关键在于明确△ABC中，由∠ABC＜∠ACB，可得AB＞AC，得到顶点A的轨迹是双曲线的右半支，且不包含与x轴交点（1，0）．是中档题．