Question

17．已知圆E过A（0，1）、B（4，3）两点，且圆心E在x轴上．
（1）求圆E的方程；
（2）对于线段AE上任意一点M，若在以B为圆心的圆上都存在不同的两点P、Q，使得点P是线段MQ的中点，求圆B的半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆心为（a，0），则有$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{（a-4）^{2}+9}$，解出a值，可得圆心坐标和半径，可得圆的方程．
（2）设M，Q的坐标，可得P的坐标，代入圆的方程，可得以（4，3）为圆心，r为半径的圆，与以（8-m，6-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙B的半径r的取值范围．

解答 解：设圆心为（a，0），则有$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{（a-4）^{2}+9}$，∴a=3，
 半径r=$\sqrt{10}$，
故所求的圆的方程为（x-3）²+y²=10．
（2）直线AE的方程为x+3y-3=0，设M（m，n）（0≤n≤1），Q（x，y）．
因为点P是点M，Q的中点，所以P（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
P，Q都在半径为r的圆B上，所以（x-4）²+（y-3）²=r²，（$\frac{m+x}{2}$-4）²+（$\frac{n+y}{2}$-3）²=r²，
因为上式是关于x，y的方程组有解，
即以（4，3）为圆心，r为半径的圆，
与以（8-m，6-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以（2r-r）²＜（4-8+m）²+（3-6+n）²＜（r+2r）²，
又m+3n-3=0，
所以r²＜10n²+10＜9r²对任意n∈[0，1]成立．
而f（n）=10n²+10在[0，1]上的值域为[10，20]，
又线段AE与圆B无公共点，
所以（3-3n-4）²+（n-3）²＞r²对任意n∈[0，1]成立，即r²＜10．
10n²+10＜9r²对任意n∈[0，1]成立，则有r²＞$\frac{20}{9}$，
故圆C的半径r的取值范围为（$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，$\sqrt{10}$）．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．