Question

9．已知函数f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）求证：函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：函数f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$为奇函数，故f（-x）=-f（x），结合对数的运算性质，可得m的值；
（2）任取1＜m＜n，进而结合对数的运算性质判断f（m）-f（n）的符号，可得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$的图象关于原点对称．
∴函数f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$为奇函数，
故f（-x）=-f（x），
即${log}_{2}\frac{1+mx}{-x-1}$=-${log}_{2}\frac{1-mx}{x-1}$，
即$\frac{1+mx}{-x-1}$•$\frac{1-mx}{x-1}$=$\frac{1-{{{m}^{2}x}^{\;}}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，
解得：m=-1，或m=1，
又∵m=1时，$\frac{1-mx}{x-1}$=-1，故舍去，
∴m=-1
证明：（2）由（1）得f（x）=${log}_{2}\frac{1+x}{x-1}$，
任取1＜m＜n，则f（m）-f（n）=${log}_{2}\frac{1+m}{m-1}$-${log}_{2}\frac{1+n}{n-1}$=${log}_{2}\frac{（1+m）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$=${log}_{2}\frac{mn-m+n-1}{mn+m-n-1}$=${log}_{2}[1-\frac{2（m-n）}{mn+m-n-1}]$＞log₂1=0，
即f（m）＞f（n），
故函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的性质，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．