Question

8．若定义在R上的可导函数y=f（x）对于任意的x满足f（2-x）+f（x）=0，当x＞1时恒有$\frac{f′（x）}{x-3}＞0$，在下列结论中：①函数y=f（x+1）是奇函数；②若-3≤x₁＜x₂≤3，且x₁+x₂＞2，则f（x₁+x₂）＜0；③函数y=f（x）有三个零点，所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 根据条件判断函数的对称性和单调性，利用函数奇偶性的定义以及函数零点的性质分别进行判断即可．

解答 解：∵f（2-x）+f（x）=0，∴f（2-x）=-f（x），
则函数f（x）关于（1，0）点对称，
将f（x）向左平移一个单位得到y=f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则①函数y=f（x+1）是奇函数正确，
当x＞3时，由$\frac{f′（x）}{x-3}＞0$得f′（x）＞0，则函数为增函数，
当1＜x＜3时，由$\frac{f′（x）}{x-3}＞0$得f′（x）＜0，则函数为减函数，
当x=1时，f（1）=-f（1），则f（1）=0，
②若-3≤x₁＜x₂≤3，且x₁+x₂＞2，则f（x₁+x₂）＜0不一定成立；故②错误，
③由②知f（1）=0，∵当x=3时，f（3）的值不确定，故无法判断函数f（x）的零点个数，故③错误，
故选：A．

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，涉及函数的单调性，奇偶性以及极值的判断，涉及的知识点较多，综合性较强．