Question

3．已知空间四面体ABCD的体积是V，点O是空间上的一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{OB}$+sinα$\overrightarrow{OC}$+cosα$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），则V_O-ACD的最小值为$\frac{2-\sqrt{2}}{4}V$，V_O-ABD+V_O-ABC的最大值为$\frac{1}{2}V$，V_O-BCD的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{4}V$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，延长BO交平面ACD于点M，则$\overrightarrow{OM}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OC}$+λ₃$\overrightarrow{OD}$，且λ₁+λ₂+λ₃=1．把已知向量等式变形，得到$\overrightarrow{BO}$=$\frac{1+sinα+cosα}{\sqrt{2}-1}\overrightarrow{OM}$，然后利用三角函数求得V_O-ACD的最小值，同理求出V_O-BCD的最小值，则V_O-ABD+V_O-ABC的最大值可求．

解答 解：如图，延长BO交平面ACD于点M，则$\overrightarrow{OM}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OC}$+λ₃$\overrightarrow{OD}$，且λ₁+λ₂+λ₃=1．
根据题意，$\overrightarrow{OA}$+（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{OB}$+sinα$\overrightarrow{OC}$+cosα$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，
则$\overrightarrow{BO}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$（$\overrightarrow{OA}+sinα\overrightarrow{OC}+cosα\overrightarrow{OD}$）
=$\frac{1+sinα+cosα}{\sqrt{2}-1}（\frac{1}{1+sinα+cosα}\overrightarrow{OA}+\frac{sinα}{1+sinα+cosα}\overrightarrow{OC}+\frac{cosα}{1+sinα+cosα}\overrightarrow{OD}）$ 
=$\frac{1+sinα+cosα}{\sqrt{2}-1}\overrightarrow{OM}$，
由于$\frac{1+sinα+cosα}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）+1}{\sqrt{2}-1}≤\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$，
∴$|\overrightarrow{BO}|≤\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}|\overrightarrow{OM}|$，
当$\overrightarrow{BO}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\overrightarrow{OM}$时，$\frac{OB}{BM}$最大，$\frac{OM}{BM}$最小，因此V_O-ACD最小，
此时α=$\frac{π}{4}$，
此时，$\frac{OB}{BM}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}，\frac{OM}{BM}=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
故V_O-ACD的最小为$\frac{2-\sqrt{2}}{4}V$；
同理，延长AO交平面BCD于点N，则$\overrightarrow{ON}={λ}_{1}\overrightarrow{OB}+{λ}_{2}\overrightarrow{OC}+{λ}_{3}\overrightarrow{OD}$，且λ₁+λ₂+λ₃=1，
由$\overrightarrow{OA}$+（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{OB}$+sinα$\overrightarrow{OC}$+cosα$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，得
$\overrightarrow{AO}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{OB}$+sinα$\overrightarrow{OC}$+cosα$\overrightarrow{OD}$
=（$\sqrt{2}-1+sinα+cosα$）[$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1+sinα+cosα}\overrightarrow{OB}+\frac{sinα}{\sqrt{2}-1+sinα+cosα}\overrightarrow{OC}+\frac{cosα}{\sqrt{2}-1+sinα+cosα}\overrightarrow{OD}$]
=$（\sqrt{2}-1+sinα+cosα）\overrightarrow{ON}$，
由于$\sqrt{2}-1+sinα+cosα=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}-1$$≤2\sqrt{2}-1$，
∴$|\overrightarrow{AO}|≤（2\sqrt{2}-1）|\overrightarrow{ON}|$，
当$\overrightarrow{AO}=（2\sqrt{2}-1）\overrightarrow{ON}$时，$\frac{OA}{AN}$最大，$\frac{ON}{AN}$最小，因此V_O-BCD最小，
此时$α=\frac{π}{4}$，
此时，$\frac{OA}{AN}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$，$\frac{ON}{AN}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故V_O-BCD的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{4}V$；
∴V_O-ABD+V_O-ABC的最大值为$V-\frac{2-\sqrt{2}}{4}V-\frac{\sqrt{2}}{4}V=\frac{1}{2}V$．
故答案为：$\frac{2-\sqrt{2}}{4}V$；$\frac{1}{2}V$；$\frac{\sqrt{2}}{4}V$．

点评 本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，考查数学转化思想方法，训练了共面向量基本定理的应用，训练了利用三角函数求最值，难度较大．