Question

16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量$\overrightarrow{m}$=（a，b+c），$\overrightarrow{n}$=（cosC+$\sqrt{3}$sinC，-1）相互垂直．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算得到acosC+a$\sqrt{3}$sinC=b+c，再根据正弦公式以及两角和差的正弦公式和诱导公式，即可求出答案；
（2）先根据正弦定理，得到b=2sinB，C=2sinC，表示出△ABC周长为a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC，利用两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质即可求出．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（a，b+c），$\overrightarrow{n}$=（cosC+$\sqrt{3}$sinC，-1）相互垂直，
∴acosC+a$\sqrt{3}$sinC=b+c，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（2）∵a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴b=2sinB，C=2sinC，
∴△ABC周长为a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC=$\sqrt{3}$+2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$+2sinB+$\sqrt{3}$cosB+sinB=$\sqrt{3}$+3sinB+$\sqrt{3}$cosB=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即B=$\frac{π}{3}$时，周长有最大值，
即为$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和正弦定理，两角和差的正弦公式，以及三角函数的性质，属于中档题．