Question

4．已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$cos²ωx相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，则下列结论中错误的是（　　）

• A． f（x）在区间（0，$\frac{π}{4}$）上单调递增
• B． f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，-$\sqrt{3}$）
• C． 当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域为[-2$\sqrt{3}$，0]
• D． 将f（x）的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到y=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，从而可求f（x）的表达式，结合正弦函数的性质分别对各个选项判断即可．

解答 解：f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
因为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，所以T=π，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
对于A，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
得：-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，
∴f（x）在区间（0，$\frac{π}{4}$）上单调递增，故A正确，
对于B，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
x=$\frac{π}{6}$时，y=-$\sqrt{3}$，
故f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，-$\sqrt{3}$），故B正确，
对于C，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
x=$\frac{5}{12}$π时，f（x）最大，最大值是2-$\sqrt{3}$，
x=$\frac{2}{3}$π时，f（x）最小，最小值是-2-$\sqrt{3}$，
f（x）的值域为[-2-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，故C错误，
对于D，将f（x）的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到y=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，故D正确，
故选：C．

点评 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式把不同名的三角函数含为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质：周期性及周期公式，函数的最值的求解．