Question

9．若曲线f（x）=f′（2）lnx-f（1）x+2x，在点（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线为l，则l在y轴上的截距为-2ln2-2．

Answer 1

分析 可令x=1，求得f（1）=1，求出f（x）的导数，令x=2，求得f′（2）=2，即可得到切线的斜率和切点，再令x=0，可得l在y轴上的截距．

解答 解：由f（x）=f′（2）lnx-f（1）x+2x，可得
f（1）=-f（1）+2，解得f（1）=1；
f（x）的导数为f′（x）=$\frac{f′（2）}{x}$-f（1）+2=$\frac{f′（2）}{x}$+1，
由x=2，可得f′（2）=1+$\frac{1}{2}$f′（2），
解得f′（2）=2，
即有f（x）=2lnx+x，f′（x）=1+$\frac{2}{x}$，
可得f（$\frac{1}{2}$）=-2ln2+$\frac{1}{2}$，f′（$\frac{1}{2}$）=5，
即有切线的方程为y-（-2ln2+$\frac{1}{2}$）=5（x-$\frac{1}{2}$），
令x=0，可得y=-2ln2+$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-2ln2-2．
故答案为：-2ln2-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查函数解析式的求法，注意运用赋值法，属于中档题．