Question

19．若数列{a_n}为等比数列，则在下列4个命题中，真命题的个数是（　　）
①{${a}_{n}^2$}也是等比数列；
②{ca_n}（c≠0）也是等比数列；
③{$\frac{1}{{a}_{n}}$}也是等比数列；
④{lna_n}也是等比数列．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 设出等比数列{a_n}的首项和公比，由等比数列的定义说明①②③为等比数列，举反例说明④不是等比数列

解答 解：数列{a_n}是等比数列，设首项为a₁，公比为q，则a_n=a₁q^n-1，
对于①，an2=a₁²q^2（n-1），∴{${a}_{n}^2$}是以a₁²为首项，q²为公比的等比数列；
对于②，c≠0时，ca_n=ca₁•q^n-1，∴{ca_n}是以ca₁为首项，q为公比的等比数列；
对于③，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}{•q}^{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1}{{q}^{n-1}}$，∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$为首项，$\frac{1}{q}$为公比的等比数列；
对于④，当数列{a_n}存在负项时，此时lga_n无意义，故{lga_n}不是等比数列；
综上，是等比数列的为①②③共3个．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的概念与应用问题，熟练掌握等比数列的定义是解题的关键，是基础题目．