Question

10．“k=1”是“函数$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k为常数）在定义域上是奇函数”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 函数$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（-x）+f（x）=0，化为：k²=1，解出即可判断出结论．

解答 解：函数$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（-x）+f（x）=0，
∴$\frac{k-{e}^{-x}}{1+k{e}^{-x}}$+$\frac{k-{e}^{x}}{1+k{e}^{x}}$=0，
化为：k²（e^x+e^-x）=e^x+e^-x，
∴k²=1，
解得k=±1，经过验证，此时函数f（x）是奇函数．
∴“k=1”是“函数$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k为常数）在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．