Question

2．已知圆${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+4y-4=0$，圆${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-2=0$，圆${C_3}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-\frac{14}{5}=0$，则圆C₁与圆C₂的公共弦所在的直线被圆C₃所截得的弦长为4．

Answer 1

分析 利用两圆相减得到公共弦的方程，利用直线和圆的位置关系进行求解即可．

解答 解：∵圆${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+4y-4=0$，圆${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-2=0$，
∴两式相减得公共弦方程为4x-2y+2=0，即2x-y+1=0，
由${C_3}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-\frac{14}{5}=0$得圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=$\frac{24}{5}$，
则圆心C₃坐标为（1，1），半径R=$\sqrt{\frac{24}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴圆心C₃到2x-y+1=0的距离d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则公共弦所在的直线被圆C₃所截得的弦长为2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{24}{5}-\frac{4}{5}}$=2$\sqrt{4}$=2×2=4，
故答案为：4

点评 本题主要考查两圆公共弦的求解以及直线和圆相交时弦长公式的即可，考查学生的计算能力．