Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=6，S₇=56，数列{b_n}前n项和为T_n，且2T_n-3b_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n为奇数}\\{{b_n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，求数列{c_n}的前n项和Q_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₃=6，S₇=56，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=56}\end{array}\right.$，解出即可得出．由数列{b_n}前n项和为T_n，且2T_n-3b_n+2=0．利用递推关系即可得出．
（II）对n分类讨论，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=6，S₇=56，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=56}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
∵数列{b_n}前n项和为T_n，且2T_n-3b_n+2=0．
∴2b₁-3b₁+2=0，解得b₁=2．
当n≥2时，2T_n-1-3b_n-1+2=0，
∴2b_n-3b_n+3b_n-1=0，
∴b_n=3b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴b_n=2×3^n-1．
（II）${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n为奇数}\\{{b_n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，
当n=2k-1（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和Q_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）
=2[1+3+…+（2k-1）]+2×（3+3³+…+3^2k-3）
=$2×\frac{k（1+2k-1）}{2}$+2×$\frac{3（{9}^{k-1}-1）}{9-1}$
=2k²+$\frac{3}{4}（{9}^{k-1}-1）$
=$2×（\frac{n+1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}×（{9}^{\frac{n-1}{2}}-1）$．
当n=2k（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和Q_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=2[1+3+…+（2k-1）]+2×（3+3³+…+3^2k-1）
=2k²+$2×\frac{3（{9}^{k}-1）}{9-1}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3}{4}（{9}^{\frac{n}{2}}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．