Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若$bcosC+\frac{c}{{\sqrt{3}}}sinB=a$．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，试求边b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得tanB的值，结合角的范围，进而求得B．
（2）根据三角形面积求得ac的值，利用余弦定理，基本不等式即可解得边b的最小值．

解答 解：（1）∵$bcosC+\frac{c}{{\sqrt{3}}}sinB=a$．
∴sinBcosC+$\frac{sinCsinB}{\sqrt{3}}$=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴由sinC≠0，求得tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立），
∴边b的最小值为2．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的应用．解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换，属于中档题．