Question

15．若x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\end{array}}\right.$则$\frac{x+2y}{2x+y}$的取值范围为[1，$\frac{7}{5}$]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，化简所求表达式，利用表达式的几何意义，求解即可．

解答 解：x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y＜0}\\{x+y-4≤0}\end{array}}\right.$的可行域如图：
则$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}y}{2x+y}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4\frac{x}{y}+2}$．
由可行域可知：$\frac{y}{x}$∈[1，k_OA]，由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，可得A（1，3），
k_OA=3，
$\frac{4x}{y}$∈$[\frac{4}{3}，4]$，$\frac{4x}{y}$+2∈$[\frac{10}{3}，6]$，
$\frac{3}{4\frac{x}{y}+2}$∈$[\frac{1}{2}，\frac{9}{10}]$，
则$\frac{x+2y}{2x+y}$∈[1，$\frac{7}{5}$]．
故答案为：[1，$\frac{7}{5}$]．

点评 本题考查了利用线性规划求目标函数的值域，一般分两步进行：1、根据不等式组，作出不等式组表示的平面区域；2、由目标函数的特点及几何意义，利用数形结合思想，转化为图形之间的关系问题求解．