Question

3．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），菱形ABCD的各顶点在椭圆E上，且直线AB经过点F．
（I）若直线AB方程为$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求椭圆E的离心率的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得直线$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0过F（1，0），设A（m，n），B（s，t），由对称性可得C（-m，-n），D（-s，-t），由菱形的对角线垂直，可得k_AC•k_BD=-1，将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-c），设A（m，n），B（s，t），由对称性可得C（-m，-n），D（-s，-t），由菱形的对角线垂直，可得k_AC•k_BD=-1，将直线AB的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得k²（a²c²-b⁴）=a²b²，由a²c²-b⁴＞0，即ac＞b²=a²-c²，结合离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：（I）由题意可得直线$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0过F（1，0），
设A（m，n），B（s，t），由对称性可得C（-m，-n），D（-s，-t），
由菱形的对角线垂直，可得k_AC•k_BD=-1，
将直线y=$\sqrt{2}$（x-1），代入椭圆方程，可得
（b²+2a²）x²-4a²x+2a²-a²b²=0，
m+s=$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}+2{a}^{2}}$，ms=$\frac{2{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+2{a}^{2}}$，
由$\frac{nt}{ms}$=-1即$\frac{2（m-1）（s-1）}{ms}$=-1，
即为3ms+2-2（m+s）=0，
即3•$\frac{2{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+2{a}^{2}}$+2-2•$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}+2{a}^{2}}$=0，
化为2a²+2b²-3a²b²=0，
又a²-b²=1，
解得a²=2，b²=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-c），
设A（m，n），B（s，t），由对称性可得C（-m，-n），D（-s，-t），
由菱形的对角线垂直，可得k_AC•k_BD=-1，
将直线AB的方程代入椭圆方程可得，
（b²+a²k²）x²-2a²k²cx+a²c²k²-a²b²=0，
即有m+s=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，ms=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
即有$\frac{nt}{ms}$=-1即$\frac{{k}^{2}（m-c）（s-c）}{ms}$=-1，
即有（1+k²）ms-k²c（m+s）+k²c²=0，
（1+k²）•$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$-k²c•$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$+k²c²=0，
化简可得k²（a²c²-b⁴）=a²b²，
由a²c²-b⁴＞0，即ac＞b²=a²-c²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²+e-1＞0，
解得e＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，或e＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
则椭圆的离心率的范围是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用对称性和联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查椭圆的离心率的范围，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用不等式的性质和解法，以及离心率公式，属于中档题．