Question

11．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=$\sqrt{3}$．
（1）求证：AE∥面BDF；
（2）求证：AD⊥BE．

Answer 1

分析 （1）设AC交BD于O点，连接OF，由余弦定理可得A0=$\sqrt{3}$=EF，又EF∥AC，即可证明AE∥FO，从而可证AE∥面BDF；
（2）取AD中点G，连接BG，EG，通过证明EG⊥AD，BG⊥AD，可证AD⊥平面EGB，即可得证AD⊥BE．

解答  证明：（1）设AC交BD于O点，连接OF，
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AD=2，
∴∠ADC=120°，由余弦定理可得：AC²=AD²+DC²-2•AD•DC•cos∠ADC=2²+2²-2×2×2×cos120°=12，
∴A0=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$=EF，
又∵EF∥AC，
∴四边形AEFO为平行四边形，可得AE∥FO，
又∵AE?面BDF，FO?面BDF，
∴AE∥面BDF；
（2）如图，取AD中点G，连接BG，EG，
∵EA=ED，可得EG⊥AD，
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，可得BG⊥AD，
又∵BG∩EG=G，
∴AD⊥平面EGB，
∵BE?平面EGB，
∴AD⊥BE．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．