Question

12．已知实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y-4≤0}\\{ax-y-2≤0}\end{array}}\right.$，若实数$a=\frac{1}{2}$，则不等式组表示的平面区域的面积为27；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，求出三个点的坐标，从而求三角形的面积，再结合函数图象求目标函数Z=2x-y的最小值．

解答 解：由题意作出实数x，y满足不等式$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y-4≤0}\\{ax-y-2≤0}\end{array}}\right.$，实数$a=\frac{1}{2}$平面区域，
x=1，y=4-x，x=2y-4两两联立解得，
A（1，3），B（1，-$\frac{3}{2}$），C（4，0）；

故S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×（3+$\frac{3}{2}$）=27；
目标函数z=4x+3y的最大值为15，可知$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=15}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即：C（3，1），C满足ax-y-2=0，3a-1-2=0，解得a=1．
故答案为：27；1．

点评 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了直线交点的求法及三角形的面积公式应用，属于中档题．