Question

1．已知递减等比数列{a_n}满足a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₁a₅=$\frac{1}{64}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的性质，可得a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₂a₄=$\frac{1}{64}$，解得a₂，a₄，注意递减，再由等比数列的通项公式，计算即可得到；
（2）求得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₁a₅=$\frac{1}{64}$，可得
a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₂a₄=$\frac{1}{64}$，
解得a₂=$\frac{1}{4}$，a₄=$\frac{1}{16}$或a₄=$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{1}{16}$，
由等比数列递减，可得a₂=$\frac{1}{4}$，a₄=$\frac{1}{16}$，
即有q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，解得q=$\frac{1}{2}$，
即有a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）a_nb_n=n，可得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
前n项和S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．