Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若∠C=$\frac{2}{3}$π，a、b、c依次成等差数列，且公差为2，如图．A′B′分别在射线CA，CB上运动，且满足A′B′=AB，设∠A′B′C′=θ，则△A′CB′周长最大值为7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意得知b=a+2，c=a+4，∠C=$\frac{2}{3}$π，从而利用余弦定理求得边长，再由正弦定理求得各边长，从而求周长即可．

解答 解：由题意得，
b=a+2，c=a+4，∠C=$\frac{2}{3}$π，
∴（a+4）²=a²+（a+2）²-2a（a+2）cos$\frac{2}{3}$π，
解得，a=3或a=-2（舍去），
故a=3，b=5，c=7，
∵$\frac{A′B′}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{A′C}{sinθ}$=$\frac{B′C}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
∴A′C=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sinθ，B′C=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∴△A′CB′周长l=7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sinθ+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$•2•sin$\frac{π}{6}$cos（θ-$\frac{π}{6}$），
故当θ=$\frac{π}{6}$时有最大值为
7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$•2•$\frac{1}{2}$=7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了解三角形的应用及三角函数的化简运算，属于中档题．