Question

20．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=3，S_m=19，S_m+5=14，则m的值为9．

Answer 1

分析 法一：设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列通项公式和前n项公式列出方程组能求出m．
法二：由a₃=3，求出S₅，从而得到${a_6}+{a_m}=\frac{8}{m-5}$，由此能求出m．

解答 解法一：设等差数列{a_n}的公差为d，
则由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=3\\{a_1}+\frac{m-1}{2}d=\frac{19}{m}\\{a_1}+\frac{m+4}{2}d=\frac{14}{m+5}\end{array}\right.$（从上往下依为①，②，③）
②-①得$\frac{m-5}{2}d=\frac{19-3m}{m}$…④；
③-①得$\frac{m}{2}d=\frac{-1-3m}{m+5}$…⑤
④÷⑤得$\frac{m-5}{m}=\frac{（3m-19）（m+5）}{m（3m+1）}$，解得m=9．
解法二：由a₃=3得${S_5}=\frac{{5（{a_1}+{a_5}）}}{2}=\frac{{5•2{a_3}}}{2}=15$，
于是${S_m}-{S_5}={a_6}+{a_7}+…+{a_m}=\frac{{（m-5）（{a_6}+{a_m}）}}{2}=4$，
所以${a_6}+{a_m}=\frac{8}{m-5}$，
而${S_m}-{S_5}={a_6}+{a_7}+…+{a_m}=\frac{{（m+5）（{a_6}+{a_m}）}}{2}=\frac{4（m+5）}{m-5}=14$，
解得m=9．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．