Question

1．已知函数f（x）=（$\frac{x}{a}$-1）²+（$\frac{b}{x}$-1）²的定义域为[a，b]，其中0＜a＜b，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 原函数可以变成$f（x）=（\frac{x}{a}+\frac{b}{x}-1）^{2}+1-\frac{2b}{a}$，然后求导数，根据0＜a＜b及x的范围即可判断该导数的符号，从而得出其在[a，b]上的单调性．

解答 解：$f（x）=（\frac{x}{a}-1）^{2}+（\frac{b}{x}-1）^{2}$=$（\frac{x}{a}+\frac{b}{x}-1）^{2}+1-\frac{2b}{a}$；
∴$f′（x）=2（\frac{x}{a}+\frac{b}{x}-1）（\frac{1}{a}-\frac{b}{{x}^{2}}）$；
∵0＜a＜b，x∈[a，b]；
∴$\frac{x}{a}+\frac{b}{x}≥2\sqrt{\frac{b}{a}}$，$\frac{b}{a}＞1$；
∴$\frac{x}{a}+\frac{b}{x}-1＞0$；
∵a≤x≤b；
$\frac{b}{{x}^{2}}$的最大值为$\frac{b}{{a}^{2}}$；
$\frac{1}{a}-\frac{b}{{x}^{2}}≤\frac{1}{a}-\frac{b}{{a}^{2}}=\frac{a-b}{{a}^{2}}＜0$；
∴$\frac{1}{a}-\frac{b}{{x}^{2}}＜0$；
∴f′（x）＜0；
∴f（x）在[a，b]上单调递减．

点评 考查完全平方公式的运用，以及根据导数符号判断函数单调性的方法，基本不等式的运用，以及求函数的最值．