Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

a，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、

  2

• C、

  6

  2

• D、

  6

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设|F₁P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率．

解答： 解：不妨设P在左支上，|F₁P|=x，则|F₂P|=2a+x．
∵OP为三角形F₁F₂P的中线，∴根据三角形中线定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²），
整理得x（x+2a）=c²+5a²．
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²，
整理得x（x+2a）=14a²-2c²，
进而可知c²+5a²=14a²-2c²，
∴3a²=c²，
∴e=

c

a

=

3

．
故选：A．

点评：本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．