Question

设函数f（x）是定义在区间D上的函数，任给x₁，x₂∈D，且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）为区间D上的严格凸函数．现给出下列命题：
①函数y=log₂x与函数y=-x²在区间（0，+∞）上均为严格凸函数；
②函数y=2^x与y=tanx在（-1，1）均不为严格凸函数；
③一定存在实数k，使得函数y=x+

k

x

在区间（-∞，0）上为严格凸函数．
其中正确的命题个数为（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：利用严格凸函数定义，结合函数的图象可得①、②都是正确的；取k=1，证明函数y=x+

k

x

在区间（-∞，0）上为严格凸函数

解答： 解：利用严格凸函数定义，可得①、②都是正确的；
取k=1，则任给x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁≠x₂，f（

x1+x2

2

）=

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

(x1+ 1 x1 )+(x2+ 1 x2 )

2

=

x1+x2

2

+

x1+x2

2x1x2

，
因为（x₁+x₂）²＞4x₁x₂，且x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以

2

x1+x2

＞

x1+x2

2x1x2

，即f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，
所以③是正确的，故正确命题个数为3．
故选：D．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．