Question

设函数f（x）=

x2+1

，对任意x₁，x₂∈R，恒有|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＜M，其中M是常数，则M的最小值是

 

．

Answer 1

分析：|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|的取值范围等价于函数f（x）=

x2+1

切线斜率绝对值的取值范围，然后利用导数研究函数f（x）切线斜率绝对值的取值范围，从而求出所求．

解答：解：|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|的取值范围等价于函数f（x）=

x2+1

切线斜率绝对值的取值范围，
而f（x）=

x2+1

，
∴f′（x）=

x

x2+1

，
∴|f′（x）|=

|x|

x2+1

=

1

1+ 1 x2

≤1（当且仅当x=±1时取等号），
∴M≥1，M的最小值是1．
故答案为：1．

点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于中档题．