Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2．
①若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），求函数在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
②若函数f（x）有两个正的零点，求a的取值范围；
③求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

Answer 1

解：（1）由f（x+1）=f（1-x）得（x+1）²+2a（x+1）+2=（1-x）²+2a（1-x）+2
即4（1+a）x=0对任意x∈R恒成立
∴a=-1
∴f（x）=x²-2x+2，x∈[-5，5]，
∵f（x）=（x-1）²+1，
∴f（x）在[-5，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增
∴f（x）_max=f（-5）=37，
∴f（x）_min=f（1）=1
（2）设方程x²+2ax+2=0的两根为x₁，x₂，则
解得：
（3）对称轴方程为x=-a
当-a＜-5，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，∴f（x）_min=f（-5）=27-10a；
当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，f（x）在[-5，-a]上单调递减，在[-a，5]上单调递增
∴；
当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减
∴f（x）_min=f（5）=27+10a
综上：
分析：（1）根据函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），确定二次函数的解析式，从而可以确定函数在定义域上的单调性，进而可求函数在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
（2）函数f（x）有两个正的零点，则对应的方程有两个正根，利用韦达定理可以求得a的取值范围；
（3）确定函数的对称轴，再与函数的定义域结合，即可求得f（x）在x∈[-5，5]的最小值．
点评：本题以函数的性质为载体，考查二函数的解析式，考查函数的零点，函数的最值，搞清二次函数的单调性与对称轴的关系是关键．