Question

【题目】已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）当点的坐标为时，能使得成立.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心，由圆与直线相切，求出 ，得到圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立直线与圆的方程，消去，得到一个关于的二次方程，由韦达定理，求出 ，因为,求出的值.

试题解析：（Ⅰ）设圆心，

则（舍去）．

所以圆的标准方程为．

（Ⅱ）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分；

当直线斜率存在时，

设直线方程为，

联立圆的方程和直线的方程得，

，

故，

若轴平分，则

.

当点的坐标为时，能使得成立．