Question

【题目】已知函数，其中均为实数， 为自然对数的底数．

（I）求函数的极值；

（II）设，若对任意的，

恒成立，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）当时， 取得极大值，无极小值；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题对 得，研究其单调性，可得当时， 取得极大值，无极小值；

（2）由题当时， ，由单调性可得在区间上为增函数，根据，构造函数，

由单调性可得在区间上为增函数，不妨设，

则等价于，

即，

故又构造函数，

可知在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

∴，设

则，

∵，

∴，则在区间上为减函数，

∴在区间上的最大值，∴，

试题解析：（1）由题得， ，

令，得．，

列表如下：

		1
	大于0	0	小于0
		极大值

∴当时， 取得极大值，无极小值；

（2）当时， ，

∵在区间上恒成立，

∴在区间上为增函数，

设，

∵在区间上恒成立，

∴在区间上为增函数，不妨设，

则等价于，

即，

设，

则在区间上为减函数，

∴在区间上恒成立，

∴在区间上恒成立，

∴，

设，

∵，

∴，则在区间上为减函数，

∴在区间上的最大值，∴，

∴实数的最小值为．