Question

【题目】已知函数f（x）=2x﹣ （x∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若2xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，x∈R，

由f（﹣x）=2﹣x﹣ = ﹣2x=﹣f（x），知f（x）是奇函数

（2）解：当x=0时，m∈R．

x∈（0，+∞）时，要使 ≥0，

即 ≥0恒成立，

∵x＞0时，2x﹣ ＞0恒成立，

∴22x+1+m≥0，即m≥﹣（22x+1），

∴m≥﹣（20+1）=﹣2．

综上，m∈[﹣2，+∞）

【解析】（1）求出函数的定义域为R，再由f（﹣x）=﹣f（x）可得函数f（x）=2x﹣ 为奇函数；（2）由2xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，可得m≥﹣（22x+1），求出22x+1的最大值得答案．
【考点精析】关于本题考查的函数的奇偶性，需要了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案．