Question

（2012•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由∠ADB=90°，得BD⊥AD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．由此能够证明BD⊥PA．
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则

AB

=（-a，

3

a，0），

BC

=（-a，0，0），

AP

=（-a，0，a），

PC

=（-a，

3

a，-a）．从而得到平面PAB的法向量

n

=（3，

3

，3）．同理，求得平面PBC的一个法向量为

m

=（0，-1，-

3

）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由∠ADB=90°，可得BD⊥AD．
因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥BD．
又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA?平面PAD，
所以BD⊥PA．…（4分）
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
A（a，0，0），B（0，

3

a，0），C（-a，

3

a，0），P（0，0，a），

AB

=（-a，

3

a，0），

BC

=（-a，0，0），

AP

=（-a，0，a），

PC

=（-a，

3

a，-a）．
设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），
得

-ax+ 3 ay=0 -ax+az=0

设y=

3

，则x=z=3，
得

n

=（3，

3

，3）．
同理，可求得平面PBC的一个法向量为

m

=（0，-1，-

3

）．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

2 7

7

．
由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-

2 7

7

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．易错点是容易忽视二面角是钝角的情况．