Question

15．己知函数f（x）=g（x-1），其中g（x）=x-ae^x
（Ⅰ）求函数f（x）的单凋区间；
（Ⅱ）若f（x）≤-1对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）对任意n的个正整数a₁，a₂，…a_n，记A=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…{a}_{n}}{n}$
（1）求证：$\frac{{a}_{i}}{A}$≤${e}^{\frac{{a}_{i}}{A}-1}$（i=1，2，n）
（2）求证：A≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）求导，得f′（x）=1-ae^x-1，参数a讨论，得出导函数正负，判断f（x）的单调性．
（2）恒成立问题转化为最值问题，求f（x）的最大值，只需最大值小于等于-1，则f（x）≤-1对x∈R恒成立．
（3）观察结论形式：：$\frac{{a}_{i}}{A}$≤${e}^{\frac{{a}_{i}}{A}-1}$（i=1，2，n），结合试题（Ⅱ）的结论，进行分析探讨．学生需用耐心和分析问题能力

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-1-ae^x-1
f′（x）=1-ae^x-1
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数
当a＞0时
令f′（x）=0得x=ln$\frac{1}{a}$+1
当（-∞，ln$\frac{1}{a}$+1），f′（x）＞0，f（x）递增
当（ln$\frac{1}{a}$+1，+∞），f′（x）＜0，f（x）递减．
综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在区间（-∞，ln$\frac{1}{a}$+1）上是增函数，f（x）在区间（ln$\frac{1}{a}$+1，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由（1）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，
又当a＞0时，f（x）在x=ln$\frac{1}{a}$+1处取最大值，
且f（ln$\frac{1}{a}$+1）═-lna-1
令-lna-1≤-1，得a≥1，
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ））①由（2）知：当a=1时，恒有f（x）≤-1成立，
即x≤e^x-1
∴$\frac{{a}_{i}}{A}$≤${e}^{\frac{{a}_{i}}{A}-1}$（i=1，2，n）
②由①知：≤${e}^{\frac{{a}_{i}}{A}-1}$（i=1，2，n）
把以上n个式子相乘得$\frac{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}{{A}^{n}}≤e\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{A}-n$=1
∴Aⁿ≥a₁a₂…a_n
故A≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

点评 考察了导数的利用，恒成立问题和对问题结论的应用．