Question

20．已知圆N：（x+1）²+y²=2和抛物线C：y²=x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（I）当切线l斜率为1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）圆N的圆心N为（-1，0），半径r=$\sqrt{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得$\frac{|-k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解得此时直线l的方程为y=-x+1；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=$\sqrt{2}$-1则得不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+1．

解答 解：∵圆N：（x+1）²+y²=2，∴圆心N为（-1，0），半径r=$\sqrt{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（I）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x-y+m=0，
∵直线l是圆N的切线，∴$\frac{|-1+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得m=-1或m=3（舍），此时直线l的方程为y=x-1，
由直线与抛物线联立，消去x得y²-y-1=0，
∴△＞0，y₁+y₂=1，y₁y₂=-1，
∴弦长|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{10}$．
（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0（k≠0），
∵直线l是圆N的切线，∴$\frac{|-k+m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
得m²-k²-2mk-2=0，①
由直线与抛物线联立，消去x得ky²-y+m=0，
∴△=1-4k×m＞0，即km＜$\frac{1}{4}$且k≠0，y₁+y₂=$\frac{1}{k}$，y₁y₂=$\frac{m}{k}$，
∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，-1），
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁，y₁+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂，y₂+1），
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，∴x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=0，
将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得
（1+k²）y₁y₂+（k²-m）（y₁+y₂）+m²+k²=0，
化简，得m²+k²+mk+k=0，②
①+②得2m²-mk+k-2=0，
即（m-1）（2m-k+2）=0，
解得m=1，或m=$\frac{1}{2}$k-1．
当m=1时，代入①，解得k=-1，满足条件km＜$\frac{1}{4}$，且k≠0，
此时直线l的方程为y=-x+1．
当m=$\frac{1}{2}$k-1时，代入①整理，无解．
（ii）当直线l的斜率不存在时，
因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=$\sqrt{2}$-1．
则得x₁x₂=3-2$\sqrt{2}$，y₁+y₂=0，
由①得：x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）
=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1≠0，
当直线l的斜率不存在时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+1．

点评 本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．