Question

12．设计一个伸缩变换，把椭圆$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1变成单位圆．

Answer 1

分析 设 $\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{λ}}\\{y=\frac{y′}{μ}}\end{array}\right.$，代入 $\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1后求得λ，μ值得答案．

解答 解：设 $\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{λ}}\\{y=\frac{y′}{μ}}\end{array}\right.$，代入 $\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1得：$\frac{（x′）^{2}}{\frac{{λ}^{2}}{16}}+\frac{（y′）^{2}}{{μ}^{2}}=1$，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1变换成单位圆，
∴$\frac{{λ}^{2}}{16}$=μ²=1，即λ=4，μ=1．
则可解得伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=4x}\\{y′=y}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了伸缩变换，关键是对变换公式的理解与运用，是基础题．