Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＞$\sqrt{3}$，求x的取值范围；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，若对任意x₁，x₂∈[$\frac{π}{2}$，π]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜t，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量加法的坐标运算求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 的坐标，进一步求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，然后解三角不等式求x的范围；
（2）把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$和|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|代入入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，整理后求出函数在[$\frac{π}{2}$，π]上的最值，求出两最值差的绝对值后可得t的范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3}{2}x$，sin$\frac{3}{2}x$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）=cos$\frac{3}{2}x$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}x$sin$\frac{x}{2}$=cos2x，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2|cosx|，
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=-2cosx，
由-2cosx＞$\sqrt{3}$⇒cosx＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴$\frac{5π}{6}$＜x≤π；
（2）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴f（x）=cos2x-2cosx=2$（cosx-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，
∵-1≤cosx≤0，
∴-1≤f（x）≤3⇒|f（x₁）-f（x₂）|≤|3-（-1）|=4，
∴t＞4．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，考查了向量的模，问题（1）训练了三角不等式的解法，（2）考查了数学转化思想，把对任意x₁，x₂∈[$\frac{π}{2}$，π]恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜t成立转化为求函数的最值问题，此题是中档题．