Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，cos²x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$
（1）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求cos2x的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-$\sqrt{3}$a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，由于x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$，又sin²2x+cos²2x=1，即可解得cos2x．
（2）2bcosA≤2c-$\sqrt{3}$a，利用余弦定理化为a²+c²-b²$≥\sqrt{3}$ac，再利用余弦定理可得cosB$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sinxcosx$-cos²x$+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$，又sin²2x+cos²2x=1，
解得cos2x=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$．
（2）∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，2bcosA≤2c-$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{c}$≤2c-$\sqrt{3}$a，化为a²+c²-b²$≥\sqrt{3}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$0＜B≤\frac{π}{6}$．
f（B）=sin$（2B-\frac{π}{6}）$，$（2B-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，
∴f（B）∈$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、余弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．