Question

17．△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+cos（π+2A）=2sin²$\frac{B+C}{2}$
（1）求角A的大小；
（2）当a=6时，求△ABC面积的最大值并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，右边利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，进而求出三角形面积的最大值，以及此时三角形的形状．

解答 解：（1）已知等式1+cos（π+2A）=2sin²$\frac{B+C}{2}$，整理得：1-cos2A=2-2cos²A=2cos²$\frac{A}{2}$=1+cosA，
即2cos²A+cosA-1=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-1（舍去），
则A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=6，cosA=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即36=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤9$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时取等号，
则△ABC面积的最大值为9$\sqrt{3}$，此时△ABC的形状为等边三角形．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．