Question

9．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的图象中相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，且点（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一个对称中心．
（1）求f（x）的表达式，并求出f（x）的单调递增区间．
（2）若f（ax）（a＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上是单调递减函数，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的周期，得到ω，利用函数的对称中心，求出φ，得到函数的解析式，利用余弦函数的单调性求解函数的单调减区间．
（2）利用函数的单调区间，列出不等式，即可求出a的最大值．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）由题意函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的图象中相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，且点（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一个对称中心，得f（x）的最小正周期为π，
∴T=$π=\frac{2π}{2ω}$∴ω=1．
∴函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
又点（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一个对称中心，
∴sin（2（$-\frac{π}{4}$）+φ）=0，
∵φ∈（0，π）∴φ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2$\sqrt{3}$cos2x，
由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z．
得$kπ+\frac{π}{2}≤x≤kπ+π$，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ+\frac{π}{2}，kπ+π]$，k∈Z．
（2）因为f（ax）=2$\sqrt{3}$cos2ax，
又f（ax）（a＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上是单调递减函数，
∴$\frac{π}{3}≤\frac{π}{2a}$，∴$a≤\frac{3}{2}$，
即a的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，余弦函数的单调性的应用，考查计算能力．