Question

19．已知函数f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³+ax²-2x（a为实数）．
（1）若f（x）在R上有极值，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数f′（x）=-2ax²+2ax-2，由f（x）在R上有极值，说明a≠0且方程-2ax²+2ax-2=0有两不等实数根，由判别式大于0求得a的取值范围；
（2）由f（x）在[-3，-2]上是增函数，可得f′（x）=-2ax²+2ax-2≥0在[-3，-2]上恒成立，分离参数a后由函数的单调性求得x²-x的范围，进一步得到
$-\frac{1}{{x}^{2}-x}$的范围，则答案可求．

解答 解：由f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³+ax²-2x，得f′（x）=-2ax²+2ax-2．
（1）若f（x）在R上有极值，则a≠0且方程-2ax²+2ax-2=0有两不等实数根，
∴△=4a²-4×（-2a）×（-2）=4a²-16a＞0，
解得：a＜0或a＞4；
（2）f′（x）=-2ax²+2ax-2，
要使f（x）在[-3，-2]上是增函数，则
f′（x）=-2ax²+2ax-2≥0在[-3，-2]上恒成立，
即a（x²-x）≤-1恒成立．
当x∈[-3，-2]时，x²-x＞0，
则$a≤-\frac{1}{{x}^{2}-x}$在[-3，-2]上恒成立．
令t=x²-x，
∵x∈[-3，-2]，∴t∈[6，12]，
∴$-\frac{1}{t}∈[-\frac{1}{6}，-\frac{1}{12}]$，
则$a≤-\frac{1}{6}$．
∴a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{6}$]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了函数恒成立问题，训练了利用分离参数法求字母的取值范围，是中高档题．