Question

11．设F₁，F₂分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$，S${\;}_{△PA{F}_{2}}$，S${\;}_{△PB{F}_{1}}$分别为△PF₁F₂，△PAF₂，△PBF₁的面积，若S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$=S${\;}_{△PB{F}_{1}}$，则直线PF₁的斜率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 通过设P（x，y），利用四边形F₁BPA的面积S=${S}_{△BO{F}_{1}}$+S_{四边形BOAP}=3${S}_{△PA{F}_{2}}$计算、整理可知bc+bx+ay=3（a-c）y，通过S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$可知a=3c，进而可知b=$2\sqrt{2}$c，代入计算、化简可知y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x+c），从而可得结论．

解答 解：依题意设P（x，y），则x＞0、y＞0，
则四边形F₁BPA的面积S=${S}_{△BO{F}_{1}}$+S_{四边形BOAP}
=$\frac{1}{2}$bc+$\frac{1}{2}$bx+$\frac{1}{2}$ay
=3${S}_{△PA{F}_{2}}$
=3×$\frac{1}{2}$×（a-c）y，
即bc+bx+ay=3（a-c）y，
又∵S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=S${\;}_{△PA{F}_{2}}$，即点F₂为线段AF₁的中点，
∴2c=a-c，即a=3c，
∴b²=a²-c²=8c²，即b=$2\sqrt{2}$c，
代入bc+bx+ay=3（a-c）y，得$2\sqrt{2}$c²+$2\sqrt{2}$cx+3cy=6cy，
化简得：y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x+c），
∴直线PF₁的斜率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，利用三角形的面积公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．