Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥ABCD，底面是菱形，设DA=DP=4，E，F分别为AB，PC的中点．
（1）求空间四面体BCFE的体积V的最大值；
（2）试判定直线AP与直线EF所成角，以及直线AC与平面PDB所成角的大小是否为定值．若是定值，请确定其大小；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）EB⊥BC时，空间四面体BCFE的体积V取得最大值；
（2）取PD的中点O，连接OE，OA，则OF平行且等于AE，∠PAO是直线AP与直线EF所成角，大小等于45°-arctan$\frac{1}{2}$；证明AC⊥平面PDB，可得直线AC与平面PDB所成角的大小．

解答 解：（1）由题意，EB⊥BC时，空间四面体BCFE的体积V取得最大值．
此时，V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2$=$\frac{8}{3}$；
（2）取PD的中点O，连接OE，OA，则OF平行且等于AE，
∴AEFO是平行四边形，
∴EF∥AO，
∴∠PAO是直线AP与直线EF所成角，大小等于45°-arctan$\frac{1}{2}$；
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PDB，
∴直线AC与平面PDB所成角的大小是90°．

点评 本题考查空间几何体体积的计算，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确找出空间角是关键．