Question

【题目】设函数f（x）的解析式满足 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数 ，求函数g（x）在区间 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x+1=t（t≠0），则x=t﹣1，

∴

∴

（2）解：当a=1时，

f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

证明：设0＜x1＜x2＜1，则

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0f（x1）＞f（x2）

所以，f（x）在（0，1）上单调递减，

同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增

（3）解：∵ ，

∴g（x）为偶函数，

所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，

又当 时，由（2）知 在 单调减，[1，2]单调增，

∴

∴当a=1时，函数g（x）在区间 上的值域的为

【解析】（1）根据整体思想x+1=t（t≠0），则x=t﹣1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．（3）根据题意判断出函数g（x）的奇偶性，根据（2）中函数的单调性，即可求出函数g（x）在区间 上的值域．