Question

【题目】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x， ）在圆x2+y2=1上，

∴x2+ =1，即曲线C的方程为 x2+ =1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．

（2）解：由 ，可得 ， ，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），

则线段P1P2的中点坐标为（ ，1），

再根据与l垂直的直线的斜率为 ，故所求的直线的方程为y﹣1= （x﹣ ），即x﹣2y+ =0．

再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+ =0，

即 ρ=

【解析】（1）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x， ）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．