【题目】已知数列{an}满足a1= 且an+1=an﹣an2(n∈N*)
(1)证明:1< ≤2(n∈N*);
(2)设数列{an2}的前n项和为Sn , 证明 (n∈N*).
【答案】
(1)证明:由题意可知:an+1﹣an=﹣an2≤0,即an+1≤an,
故an≤ ,1≤
.
由an=(1﹣an﹣1)an﹣1得an=(1﹣an﹣1)(1﹣an﹣2)…(1﹣a1)a1>0.
所以0<an≤ (n∈N*),
又∵a2=a1﹣ =
,∴
=
=2,
又∵an﹣an+1= ,∴an>an+1,∴
>1,
∴ =
=
≤2,
∴1< ≤2(n∈N*),
综上所述,1< ≤2(n∈N*)
(2)证明:由已知, =an﹣an+1,
=an﹣1﹣an,…,
=a1﹣a2,
累加,得Sn= +
+…+
=a1﹣an+1,①
由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得, 和1≤
≤2,
得1≤ ≤2,
累加得1+1+…1≤ +
﹣
+…+
﹣
≤2+2+…+2,
所以n≤ ﹣
≤2n,
因此 ≤an+1≤
(n∈N*) ②,
由①②得 ≤
(n∈N*)
【解析】(1)通过题意易得0<an≤ (n∈N*),利用an﹣an+1=
可得
>1,利用
=
=
≤2,即得结论;(2)通过
=an﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1 , 对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围,从而得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题P:方程x2+mx+1=0有两个不等的实数根,命题q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实数根.若p∧q为假,若p∨q为真,求m的取值范围.
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【题目】动圆M与圆(x﹣1)2+y2=1相外切且与y轴相切,则动圆M的圆心的轨迹记C,
(1)求轨迹C的方程;
(2)定点A(3,0)到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值;
(3)经过定点B(﹣2,1)的直线m,试分析直线m与轨迹C的公共点个数,并指明相应的直线m的斜率k是否存在,若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程,没解题方程只有结论的只得结论分].
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【题目】已知两条不重合的直线和两个不重合的平面
,若
,则下列四个命题:①若
,则
;②若
,则
; ③若
,则
;④若
,则
,其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1 , x2 , 且满足:﹣1<x1<2<x2 , 求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x+ ﹣4,g(x)=kx+3.
(1)当a=k=1时,求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间;
(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值范围;
(3)当a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)对任意x1 , x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1 , P2 , 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】济南市开展支教活动,有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学,且每个乡镇中学至少一名教师,
(1)求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率;
(2)求A中学分到两名教师的概率;
(3)设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数,求X的分布列和期望.
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