【题目】设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1 , x2 , 且满足:﹣1<x1<2<x2 , 求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x)=2ax2+(2a+2b)x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3
所以 ,解得:a=1,b=﹣2,c=﹣1,
从而f(x)=x2﹣2x﹣1
(2)解:令g(x)=f(x)﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0
由于﹣1<x1<2<x2,所以
解得﹣1<a<2
【解析】(1)设出二次函数,利用函数的解析式,化简表达式,通过比较系数,求出函数的解析式.(2)利用二次函数根与系数的关系,列出不等式,求解a的范围即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减).
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【题目】某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房子,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过am.房屋正面的造价为400元/m2 , 房屋侧面的造价为150元/m2 , 屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg | 箱产量≥50kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
附:,
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+ )+sin(2x﹣
)+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.
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【题目】已知数列{an}满足a1= 且an+1=an﹣an2(n∈N*)
(1)证明:1< ≤2(n∈N*);
(2)设数列{an2}的前n项和为Sn , 证明 (n∈N*).
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【题目】设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)求f(x)在R上的单调区间(无需使用定义严格证明,但必须有一定的推理过程);
(3)当a>2时,求函数g(x)=f(x)+|x|在R上的零点个数.
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【题目】设函数,若对于在定义域内存在实数
满足
,则称函数
为“局部奇函数”.若函数
是定义在
上的“局部奇函数”,则实数
的取值范围是( )
A. [1﹣,1+
) B. [﹣1,2] C. [﹣2
,2
] D. [﹣2
,1﹣
]
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【题目】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).
(1)求的值;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
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