Question

【题目】动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，
（1）求轨迹C的方程；
（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；
（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．

Answer 1

【答案】
（1）解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），则 ，

∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，

当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=4x

（2）解：如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，

设M（x，y），则|MA|= = = ．

∴当x=1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为2

（3）解：设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，

联立 ，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．

由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k= ．

∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（ ，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；

当直线m的斜率为k=﹣1或k= 或k∈[﹣ ，0）时，m与C有2个交点；

当直线m的斜率k∈（0， ）∪（﹣1，﹣ ）时，m与C有3个交点．

【解析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况．