Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：经过点.设椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线与轴交于点，且为线段的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线与椭圆相交于另一点（在轴上方），直线与椭圆相交于另一点，且直线与垂直，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意先得，，，由为的中点，椭圆过点，列出关系式，求出，，即可得出椭圆方程；

（2）先由题意确定直线的斜率必存在且大于0，设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与题中条件，即可求出结果.

（1）因为，，，且为的中点，

所以，则.

即，所以，.

因为点在椭圆上，

所以，

又因为，所以，则，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意直线的斜率必存在且大于0，

设直线的方程为：.

代入椭圆方程并化简得：，

因为，

得，，

当时，的斜率不存在，此时不符合题意.

当时，直线的方程为：，

因为，所以直线的方程为：，

两直线联立解得：，因为在椭圆上，

所以，化简得：，即，

因为，所以，

此时.

直线的斜率为.